Лекция: Основы теории измерений Подробно рассматриваются основные шкалы измерений, дается понятие инвариантного алгоритма анализа данных, среднего по Колмогорову. Разбирается вопрос расчета средних величин для данных, измеренных в порядковой шкале


страница1/3
ist.na5bal.ru > Документы > Лекция
  1   2   3





Теория и методы разработки управленческих решений

http://www.intuit.ru/img/empty.gif

http://www.intuit.ru/img/empty.gif

http://www.intuit.ru/img/empty.gif

7. Лекция: Основы теории измерений
Подробно рассматриваются основные шкалы измерений, дается понятие инвариантного алгоритма анализа данных, среднего по Колмогорову. Разбирается вопрос расчета средних величин для данных, измеренных в порядковой шкале.

http://www.intuit.ru/img/empty.gif

http://www.intuit.ru/img/empty.gif

http://www.intuit.ru/img/empty.gif

Теория измерений (в дальнейшем сокращенно ТИ) - общенаучная дисциплина, необходимая для понимания современной теории принятия решений. Она является одной из составных частей наук, посвященных анализу данных - статистики и эконометрики. Принято считать, что ТИ входит в состав статистики объектов нечисловой природы.

При применении тех или иных методов принятия решений, прежде всего, необходимо разобраться с проблемами измерения различных величин, используемых в процессе принятия решения. Они могут быть измерены в тех или иных количественных или качественных шкалах. Поскольку в выборе конкретной шкалы имеется некоторый произвол (например, расстояние можно измерять в аршинах, саженях, верстах, метрах или парсеках), то естественно потребовать, чтобы принимаемое решение не зависело от этого произвола (например, от того, в каких единицах измерено расстояние).

Необходимость использования ТИ в теории принятия решений рассмотрим на примере экспертного оценивания, в частности, в связи с агрегированием мнений экспертов, построением обобщенных показателей и рейтингов.

Основные шкалы измерения

Почему необходима теория измерений? Использование чисел в жизни и хозяйственной деятельности людей отнюдь не всегда предполагает, что эти числа можно складывать и умножать, производить иные арифметические действия. Что бы вы сказали о человеке, который занимается умножением телефонных номеров? И отнюдь не всегда 2+2=4. Если вы вечером поместите в клетку двух животных, а потом еще двух, то отнюдь не всегда можно утром найти в этой клетке четырех животных. Их может быть и много больше - если вечером вы загнали в клетку овцематок или беременных кошек. Их может быть и меньше - если к двум волкам вы поместили двух ягнят. Числа используются гораздо шире, чем арифметика.

Так, например, мнения экспертов часто выражены в порядковой шкале (подробнее о шкалах говорится ниже), т.е. эксперт может сказать (и обосновать), что один показатель качества продукции более важен, чем другой, первый технологический объект более опасен, чем второй, и т.д. Но он не в состоянии сказать, во сколько раз или на сколько он более важен, соответственно, более опасен. Экспертов часто просят дать ранжировку (упорядочение) объектов экспертизы, т.е. расположить их в порядке возрастания (или убывания) интенсивности интересующей организаторов экспертизы характеристики. Ранг - это номер (объекта экспертизы) в упорядоченном ряду значений характеристики у различных объектов. Такой ряд в статистике называется вариационным. Формально ранги выражаются числами 1, 2, 3, ..., но с этими числами нельзя делать привычные арифметические операции. Например, хотя в арифметике 1 + 2 = 3, но нельзя утверждать, что для объекта, стоящем на третьем месте в упорядочении, интенсивность изучаемой характеристики равна сумме интенсивностей объектов с рангами 1 и 2. Так, один из видов экспертного оценивания - оценки учащихся. Вряд ли кто-либо будет утверждать, что знания отличника равны сумме знаний двоечника и троечника (хотя 5 = 2 + 3), хорошист соответствует двум двоечникам (2 + 2 = 4), а между отличником и троечником такая же разница, как между хорошистом и двоечником (5 - 3 = 4 - 2). Поэтому очевидно, что для анализа подобного рода качественных данных необходима не всем известная арифметика, а другая теория, дающая базу для разработки, изучения и применения конкретных методов расчета. Это и есть ТИ.

При чтении литературы надо иметь в виду, что в настоящее время термин "теория измерений" применяется для обозначения целого ряда научных дисциплин. А именно, классической метрологии (науки об измерениях физических величин), рассматриваемой здесь ТИ, некоторых других направлений, например, алгоритмической теории измерений. Обычно из контекста понятно, о какой конкретно теории идет речь.

Краткая история теории измерений. Сначала ТИ развивалась как теория психофизических измерений. В послевоенных публикациях американский психолог С.С. Стивенс основное внимание уделял шкалам измерения. Во второй половине ХХ в. сфера применения ТИ стремительно расширяется. Посмотрим, как это происходило.

Один из томов выпущенной в США в 1950-х годах "Энциклопедии психологических наук" назывался "Психологические измерения". Значит, составители этого тома расширили сферу применения РТИ с психофизики на психологию в целом. А в основной статье в этом сборнике под названием, обратите внимание, "Основы теории измерений", изложение шло на абстрактно-математическом уровне, без привязки к какой-либо конкретной области применения. В этой статье [7.1] упор был сделан на "гомоморфизмы эмпирических систем с отношениями в числовые" (в эти математические термины здесь вдаваться нет необходимости), и математическая сложность изложения заметно возросла по сравнению с работами С.С. Стивенса.

Уже в одной из первых отечественных статей по РТИ (конец 1960-х годов) было установлено, что баллы, присваиваемые экспертами при оценке объектов экспертизы, как правило, измерены в порядковой шкале. Отечественные работы, появившиеся в начале 1970-х годов, привели к существенному расширению области использования РТИ. Ее применяли к педагогической квалиметрии (измерению качества знаний учащихся), в системных исследованиях, в различных задачах теории экспертных оценок, для агрегирования показателей качества продукции, в социологических исследованиях, и др.

Итоги этого этапа были подведены в монографии . В качестве двух основных проблем РТИ наряду с установлением типа шкалы измерения конкретных данных был выдвинут поиск алгоритмов анализа данных, результат работы которых не меняется при любом допустимом преобразовании шкалы (т.е. является инвариантным относительно этого преобразования).

Метрологи вначале резко возражали против использования термина "измерение" для качественных признаков. Однако постепенно возражения сошли на нет, и к концу ХХ в. ТИ стала рассматриваться как общенаучная теория.

Шесть основных типов шкал. В соответствии с ТИ при математическом моделировании реального явления или процесса следует, прежде всего, установить типы шкал, в которых измерены те или иные переменные. Тип шкалы задает группу допустимых преобразований шкалы. Допустимые преобразования не меняют объективно существующих соотношений между объектами измерения.

Например, при измерении длины переход от аршин к метрам не меняет соотношений между длинами рассматриваемых объектов - если первый объект длиннее второго, то это будет установлено и при измерении в аршинах, и при измерении в метрах. Если первый длиннее второго в 5 раз при измерении в дюймах, то и при измерении в саженях первый длиннее второго ровно в 5 раз. Обратите внимание, что при этом численное значение длины в аршинах отличается от численных значений длины в метрах, дюймах и саженях - не меняется лишь результат сравнения длин двух объектов и отношение длин.

Укажем основные виды шкал измерения и соответствующие группы допустимых преобразований.

В шкале наименований (другое название этой шкалы - номинальная; это - переписанное русскими буквами английское название шкалы) допустимыми являются все взаимно-однозначные преобразования. В этой шкале числа используются лишь как метки. Примерно так же, как при сдаче белья в прачечную, т.е. лишь для различения объектов. В шкале наименований измерены, например, номера телефонов, автомашин, паспортов, студенческих билетов. Номера страховых свидетельств государственного пенсионного страхования, медицинского страхования, ИНН (индивидуальный номер налогоплательщика) измерены в шкале наименований. Пол людей тоже измерен в шкале наименований, результат измерения принимает два значения - мужской, женский. Раса, национальность, цвет глаз, волос - номинальные признаки. Номера букв в алфавите - тоже измерения в шкале наименований. Никому в здравом уме не придет в голову складывать или умножать номера телефонов, такие операции не имеют смысла. Сравнивать буквы и говорить, например, что буква "П" лучше буквы "С", также никто не будет. Единственное, для чего годятся измерения в шкале наименований - это различать объекты. Во многих случаях только это от них и требуется. Например, шкафчики в раздевалках для взрослых различают по номерам, т.е. числам, а в детских садах используют рисунки, поскольку дети еще не знают чисел.

В порядковой шкале числа используются не только для различения объектов, но и для установления порядка между объектами. Простейшим примером являются оценки знаний учащихся. Символично, что в средней школе применяются оценки 2, 3, 4, 5, а в высшей школе ровно тот же смысл выражается словесно - неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично. Этим подчеркивается "нечисловой" характер оценок знаний учащихся. В порядковой шкале допустимыми являются все строго возрастающие преобразования.

Установление типа шкалы, т.е. задания группы допустимых преобразований шкалы измерения - дело специалистов соответствующей прикладной области. Так, оценки привлекательности профессий мы в монографии, выступая в качестве социологов, считали измеренными в порядковой шкале. Однако отдельные социологи не соглашались с нами, полагая, что выпускники школ пользуются шкалой с более узкой группой допустимых преобразований, например, интервальной шкалой. Очевидно, эта проблема относится не к математике, а к наукам о человеке. Для ее решения может быть поставлен достаточно трудоемкий эксперимент. Пока же он не поставлен, целесообразно принимать порядковую шкалу, так как это гарантирует от возможных ошибок.

Оценки экспертов, как уже отмечалось, часто следует считать измеренными в порядковой шкале. Типичным примером являются задачи ранжирования и классификации промышленных объектов, подлежащих экологическому страхованию.

Почему мнения экспертов естественно выражать именно в порядковой шкале? Как показали многочисленные опыты, человек более правильно (и с меньшими затруднениями) отвечает на вопросы качественного, например, сравнительного, характера, чем количественного. Так, ему легче сказать, какая из двух гирь тяжелее, чем указать их примерный вес в граммах.

В различных областях человеческой деятельности применяется много других видов порядковых шкал. Так, например, в минералогии используется шкала Мооса, по которому минералы классифицируются согласно критерию твердости. А именно: тальк имеет балл 1, гипс - 2, кальций - 3, флюорит - 4, апатит - 5, ортоклаз - 6, кварц - 7, топаз - 8, корунд - 9, алмаз - 10. Минерал с большим номером является более твердым, чем минерал с меньшим номером, при нажатии царапает его.

Порядковыми шкалами в географии являются - бофортова шкала ветров ("штиль", "слабый ветер", "умеренный ветер" и т.д.), шкала силы землетрясений. Очевидно, нельзя утверждать, что землетрясение в 2 балла (лампа качнулась под потолком - такое бывает и в Москве) ровно в 5 раз слабее, чем землетрясение в 10 баллов (полное разрушение всего на поверхности земли).

В медицине порядковыми шкалами являются - шкала стадий гипертонической болезни (по Мясникову), шкала степеней сердечной недостаточности (по Стражеско-Василенко-Лангу), шкала степени выраженности коронарной недостаточности (по Фогельсону), и т.д. Все эти шкалы построены по схеме: заболевание не обнаружено; первая стадия заболевания; вторая стадия; третья стадия. Иногда выделяют стадии 1а, 1б и др. Каждая стадия имеет свойственную только ей медицинскую характеристику. При описании групп инвалидности числа используются в противоположном порядке: самая тяжелая - первая группа инвалидности, затем - вторая, самая легкая - третья.

Номера домов также измерены в порядковой шкале - они показывают, в каком порядке стоят дома вдоль улицы. Номера томов в собрании сочинений писателя или номера дел в архиве предприятия обычно связаны с хронологическим порядком их создания.

При оценке качества продукции и услуг, в т.н. квалиметрии (буквальный перевод: измерение качества) популярны порядковые шкалы. А именно, единица продукции оценивается как годная или не годная. При более тщательном анализе используется шкала с тремя градациями: есть значительные дефекты - присутствуют только незначительные дефекты - нет дефектов. Иногда применяют четыре градации: имеются критические дефекты (делающие невозможным использование контролируемой единицы продукции) - есть значительные дефекты - присутствуют только незначительные дефекты - нет дефектов. Аналогичный смысл имеет сортность продукции - высший сорт, первый сорт, второй сорт,…

При оценке экологических воздействий первая, наиболее обобщенная оценка - обычно порядковая, например: природная среда стабильна - природная среда угнетена (деградирует). Аналогично в эколого-медицинской шкале: нет выраженного воздействия на здоровье людей - отмечается отрицательное воздействие на здоровье.

Порядковая шкала используется и во многих иных областях. В теории принятия решений это прежде всего различные методы экспертных оценок.

Все шкалы измерения делят на две группы - шкалы качественных признаков и шкалы количественных признаков.

Порядковая шкала и шкала наименований - основные шкалы качественных признаков. Поэтому во многих конкретных областях результаты качественного анализа можно рассматривать как измерения по этим шкалам.

Шкалы количественных признаков - это шкалы интервалов, отношений, разностей, абсолютная. По шкале интервалов измеряют величину потенциальной энергии или координату точки на прямой. В этих случаях на шкале нельзя отметить ни естественное начало отсчета, ни естественную единицу измерения. Исследователь должен сам задать точку отсчета и сам выбрать единицу измерения. Допустимыми преобразованиями в шкале интервалов являются линейные возрастающие преобразования, т.е. линейные функции. Температурные шкалы Цельсия и Фаренгейта связаны именно такой зависимостью:

 \circ с= 5/9 (\circ f- 32),

где \circ с- температура (в градусах) по шкале Цельсия, а \circ f- температура по шкале Фаренгейта.

Из количественных шкал наиболее распространенными в науке и практике являются шкалы отношений. В них есть естественное начало отсчета - нуль, т.е. отсутствие величины, но нет естественной единицы измерения. По шкале отношений измерены большинство физических единиц: масса тела, длина, работа, мощность, заряд, напряжение, а также цены в экономике. Допустимыми преобразованиями в шкале отношений являются подобные (изменяющие только масштаб). Другими словами, линейные возрастающие преобразования без свободного члена. Примером является пересчет цен из одной валюты в другую по фиксированному курсу.

Предположим, мы сравниваем экономическую эффективность двух инвестиционных проектов, используя цены в рублях. Пусть первый проект оказался лучше второго. Теперь перейдем на валюту самой экономически мощной державы мира - юани, используя фиксированный курс пересчета. (В эконометрике с помощью расчетов на основе принципа потребительских паритетов установлено, что в настоящее время валовой внутренний продукт Китая больше, чем у какой-либо иной страны, в частности, больше, чем у Европейского Союза (второе место) и США (третье место).) Очевидно, первый проект должен опять оказаться более выгодным, чем второй. Это очевидно из общих экономических соображений. Однако алгоритмы расчета не обеспечивают автоматически выполнения этого очевидного условия. Надо проверять, что оно выполнено. Результаты подобной проверки для средних величин описаны ниже.

В шкале разностей есть естественная единица измерения, но нет естественного начала отсчета. Допустимыми преобразованиями в шкале разностей являются сдвиги. Время измеряется по шкале разностей, если год (или сутки - от полудня до полудня) принимаем естественной единицей измерения, и по шкале интервалов в общем случае. На современном уровне знаний естественного начала отсчета времени указать нельзя. Дату сотворения мира различные авторы рассчитывают по-разному, равно как и момент рождества Христова. Так, согласно новой статистической хронологии, разработанной группой известного историка акад. РАН А.Т.Фоменко, Господь Иисус Христос родился примерно в 1054 г. по принятому ныне летоисчислению в Стамбуле (он же - Царьград, Византия, Троя, Иерусалим, Рим).

Только для абсолютной шкалы результаты измерений - числа в обычном смысле слова. Примером является число людей в комнате. Для абсолютной шкалы допустимым является только тождественное преобразование.

В процессе развития соответствующей области знания тип шкалы измерения конкретной величины может меняться. Так, сначала температура измерялась по порядковой шкале (холоднее - теплее). Затем - по интервальной (шкалы Цельсия, Фаренгейта, Реомюра). Наконец, после открытия абсолютного нуля температуру можно считать измеренной по шкале отношений (шкала Кельвина). Надо отметить, что среди специалистов иногда имеются разногласия по поводу того, по каким шкалам следует считать измеренными те или иные реальные величины. Другими словами, процесс измерения включает в себя, как необходимый этап, и определение типа шкалы (вместе с обоснованием выбора определенного типа шкалы). Кроме перечисленных шести основных типов шкал, иногда используют и иные шкалы.

Инвариантные алгоритмы и средние величины

Основное требование к алгоритмам анализа данных формулируется в ТИ так: выводы, сделанные на основе данных, измеренных в шкале определенного типа, не должны меняться при допустимом преобразовании шкалы измерения этих данных. Другими словами, выводы должны быть инвариантны по отношению к допустимым преобразованиям шкалы.

Таким образом, одна из основных целей теории измерений - борьба с субъективизмом исследователя при приписывании численных значений реальным объектам. Так, расстояния можно измерять в аршинах, метрах, микронах, милях, парсеках и других единицах измерения. Массу (вес) - в пудах, килограммах, фунтах и др. Цены на товары и услуги можно указывать в юанях, рублях, тенге, гривнах, латах, кронах, марках, долларах США и других валютах (при условии заданных курсов пересчета). Подчеркнем очень важное, хотя и вполне очевидное обстоятельство: выбор единиц измерения зависит от исследователя, т.е. субъективен. Выводы могут быть адекватны реальности только тогда, когда они не зависят от того, какую единицу измерения предпочтет исследователь, т.е. когда они инвариантны относительно допустимого преобразования шкалы. Очевидно, что при разработке управленческих решений можно опираться только на инвариантные выводы.

Оказывается, сформулированное условие является достаточно сильным. Из многих используемых при принятии решений алгоритмов статистического (эконометрического) анализа данных ему удовлетворяют лишь некоторые. Покажем это на примере сравнения средних величин.

Пусть х_1, х_2,\dots, х_n - выборка объема n. Часто используют среднее арифметическое

 x_cp=\frac { х_1, х_2,\dots, х_n }{n}

Использование среднего арифметического настолько привычно, что второе слово в термине часто опускают. И говорят о средней зарплате, среднем доходе и других средних для конкретных экономических данных, подразумевая под "средним" среднее арифметическое. Такая традиция может приводить к ошибочным выводам. Покажем это на примере расчета средней заработной платы (среднего дохода) работников условного предприятия ( табл. 7.1).

Таблица 7.1. Численность работников различных категорий, их заработная плата и доходы (в условных единицах)

Категория работников

Число работни-ков

Заработная плата

Суммарные доходы

Низкоквалифицированные рабочие

40

100

4000

Высококвалифицированные рабочие

30

200

6000

Инженеры и служащие

25

300

7500

Менеджеры

4

1000

4000

Генеральный директор (владелец)

1

18500

18500

Всего

100




40000
  1   2   3

Поделиться в соцсетях



Похожие:

Лекция: Основы теории измерений Подробно рассматриваются основные шкалы измерений, дается понятие инвариантного алгоритма анализа данных, среднего по Колмогорову. Разбирается вопрос расчета средних величин для данных, измеренных в порядковой шкале iconВопросы экзамена по курсу базы данных
Введение. Основные понятия. Краткая история развития. Сетевые и иерархические структуры данных

Лекция: Основы теории измерений Подробно рассматриваются основные шкалы измерений, дается понятие инвариантного алгоритма анализа данных, среднего по Колмогорову. Разбирается вопрос расчета средних величин для данных, измеренных в порядковой шкале iconТематическое планирование учебного предмета 15
Выполнять измерение длин, расстояний, величин углов, с помощью инструментов для измерений длин и углов; 5

Лекция: Основы теории измерений Подробно рассматриваются основные шкалы измерений, дается понятие инвариантного алгоритма анализа данных, среднего по Колмогорову. Разбирается вопрос расчета средних величин для данных, измеренных в порядковой шкале iconЛабораторная работа №1: Создание баз данных
В этой утилите можно выполнить типовые задачи обслуживания баз данных, такие как резервирование и восстановление. Здесь можно настраивать...

Лекция: Основы теории измерений Подробно рассматриваются основные шкалы измерений, дается понятие инвариантного алгоритма анализа данных, среднего по Колмогорову. Разбирается вопрос расчета средних величин для данных, измеренных в порядковой шкале iconКоманды
Разработать структуру базы данных для учета результатов гонок в формуле эта база данных должна содержать следующую информацию

Лекция: Основы теории измерений Подробно рассматриваются основные шкалы измерений, дается понятие инвариантного алгоритма анализа данных, среднего по Колмогорову. Разбирается вопрос расчета средних величин для данных, измеренных в порядковой шкале iconДипломная работа: разработать систему автоматизации ведения базы...
Дипломная работа: разработать систему автоматизации ведения базы данных абонентов на атс для решения задач позволяющих осуществлять...

Лекция: Основы теории измерений Подробно рассматриваются основные шкалы измерений, дается понятие инвариантного алгоритма анализа данных, среднего по Колмогорову. Разбирается вопрос расчета средних величин для данных, измеренных в порядковой шкале iconТехнологии Raid – немного теории и практика использвания
Служит для повышения надёжности хранения данных и/или для повышения скорости чтения/записи информации

Лекция: Основы теории измерений Подробно рассматриваются основные шкалы измерений, дается понятие инвариантного алгоритма анализа данных, среднего по Колмогорову. Разбирается вопрос расчета средних величин для данных, измеренных в порядковой шкале iconЧто необходимо для того, чтобы успешно сдать егэ по истории? Ответ...
Специалисты Федерального института педагогических измерений (фипи) дают советы выпускникам, как готовиться к успешной сдаче единого...

Лекция: Основы теории измерений Подробно рассматриваются основные шкалы измерений, дается понятие инвариантного алгоритма анализа данных, среднего по Колмогорову. Разбирается вопрос расчета средних величин для данных, измеренных в порядковой шкале icon9 класс Шкала перевода баллов огэ 2017
Шкалы перевода первичных баллов в отметки по пятибалльной шкале для проведения огэ носят рекомендательный характер

Лекция: Основы теории измерений Подробно рассматриваются основные шкалы измерений, дается понятие инвариантного алгоритма анализа данных, среднего по Колмогорову. Разбирается вопрос расчета средних величин для данных, измеренных в порядковой шкале iconКонспект самоподготовки по курсу «Методы анализа и обработки первичных данных»
Общая характеристика процесса сбора, передачи, обработки и накопления информации 9

Лекция: Основы теории измерений Подробно рассматриваются основные шкалы измерений, дается понятие инвариантного алгоритма анализа данных, среднего по Колмогорову. Разбирается вопрос расчета средних величин для данных, измеренных в порядковой шкале iconКонсультация для родителей
Задачу представляет поиск тех ее качеств, которые определяют индивидуальные различия по параметрам общей психической активности и...


История




При копировании материала укажите ссылку © 2000-2017
контакты
ist.na5bal.ru
..На главную